Как найти третью сторону треугольника, если известна высота и два угла?
Высота 1650 м. ∠ВС = 70°, ∠ВА = 75°. Задача: с вертолёта, находящегося над шоссейной дорогой, была замечена колонна машин, движущаяся по ней. Начало колонны видно под углом 75°, а конец — под углом 70°. Найдите длину колонны, если вертолёт находится на высоте 1650 м.

Для решения этой задачи нужно использовать тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Дано:

• Высота полёта вертолёта — 1650 м.

• Угол, под которым видно начало колонны, — 75°.

• Угол, под которым видно конец колонны, — 70°.

• Найти длину колонны.

Решение

Обозначим:

• В — точка, в которой находится вертолёт.

• А — начало колонны.

• С — конец колонны.

• D — точка на дороге прямо под вертолётом.

Высота BD = 1650 м.

Рассмотрим случай, когда точка D находится между началом и концом колонны, а углы 75° и 70° отсчитываются от горизонтали.

Схема задачи (не в масштабе)

1. Найдём углы между высотой и линиями наблюдения.

Так как высота перпендикулярна дороге, получаем:

2. Найдём расстояние AD.

Из прямоугольного треугольника ABD:

Отсюда:

3. Найдём расстояние DC.

Из прямоугольного треугольника BDC:

Отсюда:

4. Найдём длину колонны AC.

Поскольку точка D находится между А и С:

При вычислении с более точными значениями тангенсов получаем:

Ответ: длина колонны составляет приблизительно 1043 м, или 1,04 км.

Важно: если оба конца колонны находятся по одну сторону от точки D, расстояния нужно вычитать, а не складывать. Тогда получится приблизительно 158 м. Для ответа 1043 м используется расположение точек А–D–С, показанное на рисунке.