13. Отрезки МР и ЕК пересекаются в их середине О. Докажите, что МЕ параллелен РК.

Дано:

Отрезки МР и ЕК пересекаются в точке О, причём О — середина каждого из них.

Доказать: МЕ ∥ РК.

Доказательство:

1. Так как точка О является серединой отрезка МР, то МО = ОР.

2. Так как точка О является серединой отрезка ЕК, то ЕО = ОК.

3. Рассмотрим треугольники МОЕ и РОК.

В этих треугольниках:

• МО = ОР (по условию);

• ЕО = ОК (по условию);

• ∠МОЕ = ∠РОК (как вертикальные углы).

4. Следовательно, треугольники МОЕ и РОК равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

5. Из равенства треугольников следует, что ∠ОМЕ = ∠ОРК, так как это соответствующие углы равных треугольников.

6. Углы ОМЕ и ОРК являются накрест лежащими при прямых МЕ и РК и секущей МР.

7. Поскольку накрест лежащие углы равны, то МЕ ∥ РК.

Что и требовалось доказать.