Отрезки KE и MN пересекаются в точке O, так что отрезок KM параллелен отрезку NE:

а) докажите, что KO·ON=MO·OE;

б) найдите KM, если MN=20см, MO=12см, NE=18см.

Решение:

Часть а) Доказать, что $KO \cdot ON = MO \cdot OE$

Дано:

1. Отрезки $KE$ и $MN$ пересекаются в точке $O$.
2. $KM \parallel NE$.

Доказательство:

1. Поскольку $KM \parallel NE$, то $\triangle KOM \sim \triangle EON$ (по двум углам: вертикальный угол при $O$ и равенство углов при $K$ и $E$, так как прямые параллельны).

2. Из подобия треугольников $\triangle KOM$ и $\triangle EON$:

   $$\frac{KO}{EO} = \frac{MO}{ON}.$$

3. Перемножив пропорцию, получаем:

   $$KO \cdot ON = MO \cdot OE.$$

Вывод: утверждение доказано.

Часть б) Найти длину $KM$, если $MN = 20 \, \text{см}, MO = 12 \, \text{см}, NE = 18 \, \text{см}$.

Шаг 1: Ввод данных и анализ задачи.

• Отрезок $MN$ делится точкой $O$ на $MO$ и $ON$, то есть:

  $$ON = MN - MO = 20 - 12 = 8 \, \text{см}.$$

• Теперь известно:

  $$MO = 12 \, \text{см}, \, ON = 8 \, \text{см}, \, NE = 18 \, \text{см}.$$

Шаг 2: Применение подобия треугольников.

• Из подобия $\triangle KOM$ и $\triangle EON$ выполнено:

  $$\frac{KM}{NE} = \frac{MO}{ON}.$$

• Подставим известные значения:

  $$\frac{KM}{18} = \frac{12}{8}.$$

Шаг 3: Выражение длины $KM$.

• Решим уравнение: $$KM = 18 \cdot \frac{12}{8} = 18 \cdot 1.5 = 27 \, \text{см}.$$

Ответ:

а) Доказано, что $KO \cdot ON = MO \cdot OE$.
б) Длина $KM = 27 \, \text{см}$.