1. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а её апофема образует с высотой угол 45°. Найдите:
а) площадь основания пирамиды
б) боковую поверхность пирамиды
2. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник, высота которого, проведённая к основанию, равна 8 см. Высота призмы равна 12 см. Найдите полную поверхность призмы, если боковая грань, содержащая основание треугольника, — квадрат.

1. Высота пирамиды \(h=4\) см. Апофема образует с высотой угол \(45°\). Радиус вписанной в квадрат окружности равен:

\[r=h\cdot\tan45°=4\text{ см}.\]

Сторона основания \(a=2r=8\) см.

а) Площадь основания:

\[S_{\text{осн}}=a^2=8^2=64\text{ см}^2.\]

Апофема:

\[l=\frac{h}{\cos45°}=4\sqrt{2}\text{ см}.\]

б) Площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}}=\frac{P_{\text{осн}}\cdot l}{2}=\frac{32\cdot4\sqrt{2}}{2}=64\sqrt{2}\text{ см}^2.\]

Ответ: \(64\text{ см}^2\); \(64\sqrt{2}\text{ см}^2\).

2. Высота призмы равна \(12\) см. Боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, поэтому основание треугольника тоже равно \(12\) см.

Площадь основания призмы:

\[S_{\text{осн}}=\frac{12\cdot8}{2}=48\text{ см}^2.\]

Боковая сторона равнобедренного треугольника:

\[\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ см}.\]

Периметр основания: \(12+10+10=32\) см. Площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}}=32\cdot12=384\text{ см}^2.\]

Полная поверхность:

\[S_{\text{полн}}=2\cdot48+384=480\text{ см}^2.\]

Ответ: \(480\text{ см}^2\).

0 0 Пожаловаться