Окружность с центром O описана около прямоугольного треугольника. Докажите, что точка O — середина гипотенузы.

Пусть \(ABC\) — прямоугольный треугольник, причём \(\angle C=90^\circ\), а \(AB\) — гипотенуза. Он вписан в окружность с центром \(O\).

Вписанный угол \(\angle ACB\) равен \(90^\circ\). Центральный угол, опирающийся на ту же дугу \(AB\), в два раза больше:

\[ \angle AOB=2\angle ACB=180^\circ. \]

Значит, точки \(A\), \(O\) и \(B\) лежат на одной прямой, а \(AB\) — диаметр окружности. Центр окружности делит любой диаметр пополам, следовательно, точка \(O\) — середина гипотенузы \(AB\).

0 0 Пожаловаться