В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом
основания 6 проведена хорда AB , равная радиусу основания, а в другом его
основании проведён диаметр CD , перпендикулярный AB . Построено
сечение ABNM , проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой
CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён
диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды CABNM .

Рассмотрим задачу шаг за шагом.

Дано:

• Прямой круговой цилиндр с высотой $h = 12$, радиусом основания $R = 6$.
• В основании $O_1$ проведена хорда $AB$, длина которой равна радиусу цилиндра $R$.
• В другом основании $O_2$ проведён диаметр $CD$, перпендикулярный хорде $AB$.
• Сечение $ABNM$ проходит через прямую $AB$, перпендикулярно $CD$.

Нужно:

1. Доказать, что диагонали сечения $ABNM$ равны между собой.
2. Найти объём пирамиды $CABNM$.

Часть а. Доказательство равенства диагоналей сечения $ABNM$

1. Рассмотрим геометрическое положение хорды $AB$ и диаметра $CD$:

   • Поскольку $AB$ и $CD$ перпендикулярны, они лежат в основаниях цилиндра, перпендикулярных плоскости сечения.
   • Хорда $AB$ имеет длину, равную радиусу $R = 6$, значит $AB = 6$. Следовательно, $A$ и $B$ симметричны относительно центра основания $O_1$.

2. Сечение $ABNM$:

   • Сечение проходит через $AB$ и перпендикулярно диаметру $CD$.
   • Таким образом, плоскость сечения вертикальна и образует прямоугольник $ABNM$, где $AB$ является одной из сторон, а $NM$ – другой стороной.

3. Докажем, что диагонали прямоугольника равны:

   • Плоскость сечения $ABNM$ по определению перпендикулярна диаметру $CD$ и параллельна боковым образующим цилиндра.

   • Прямоугольник $ABNM$ лежит в вертикальной плоскости. Его вершины:

     • $A$ и $B$ – точки на хорде $AB$ в основании $O_1$.
     • $N$ и $M$ – проекции $A$ и $B$ на противоположное основание $O_2$.

   • Поскольку цилиндр прямой, проекции точек $A$ и $B$ на второе основание образуют отрезок $NM$, параллельный $AB$ и равный ему.

4. Рассмотрим диагонали $AN$ и $BM$:

   • В прямоугольнике $ABNM$ диагонали пересекаются в одной точке и равны между собой по свойству прямоугольника.

Таким образом, диагонали сечения $ABNM$ равны.

Часть б. Нахождение объёма пирамиды $CABNM$

Рассмотрим пирамиду $CABNM$, где:

• $C$ – точка, лежащая в центре нижнего основания цилиндра $O_2$.
• $ABNM$ – сечение цилиндра в виде прямоугольника.

Шаги решения:

1. Основание пирамиды $ABNM$:

   • $AB = 6$ (по условию).
   • Поскольку $NM$ – проекция $AB$ на второе основание, длина $NM = 6$.
   • Высота цилиндра $h = 12$, значит расстояние между основаниями цилиндра (и между плоскостями $O_1$ и $O_2$) равно $12$.

   Следовательно, прямоугольник $ABNM$ имеет стороны:

   $$AB = NM = 6, \quad высота \, (расстояние \, между \, AB \, и \, NM) = h = 12.$$

   Площадь прямоугольника $ABNM$ равна:

   $$S_{ABNM} = AB \cdot высота = 6 \cdot 12 = 72.$$

2. Высота пирамиды $CABNM$:

   • Точка $C$ находится в центре нижнего основания цилиндра.
   • Плоскость сечения $ABNM$ параллельна образующим цилиндра и находится на высоте $12$ (вверху).
   • Следовательно, высота пирамиды $h_{\text{пирамида}}$ равна расстоянию от точки $C$ до плоскости $ABNM$: $$h_{\text{пирамида}} = 12.$$

3. Объём пирамиды: Объём пирамиды находится по формуле:

   $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h.$$

   Подставим значения:

   $$S_{\text{основания}} = 72, \quad h = 12.$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot 864 = 288.$$

Ответ:

а) Диагонали сечения $ABNM$ равны между собой.
б) Объём пирамиды $CABNM$ равен 288.