Диагонали смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда составляют с плоскостью основания углы в 30° и 45°. Найти косинус угла между этими диагоналями.

Пусть высота параллелепипеда равна \(h\). Диагонали двух смежных боковых граней образуют с основанием углы \(30^\circ\) и \(45^\circ\).

Для первой диагонали:

\[ \sin 30^\circ=\frac{h}{d_1},\qquad d_1=2h \]

Для второй диагонали:

\[ \sin 45^\circ=\frac{h}{d_2},\qquad d_2=h\sqrt{2} \]

У этих диагоналей общая вертикальная составляющая \(h\), поэтому:

\[ \cos\varphi=\frac{h^2}{d_1d_2}=\frac{h^2}{2h\cdot h\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4} \]

Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{4}\).

0 0 Пожаловаться