Квадрат ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности.
а) Докажите, что плоскость квадрата наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
б) Найдите длину той части отрезка BD, которая находится внутри цилиндра, если образующая равна √6.

а) Пусть радиус основания цилиндра равен \(r\), а высота — \(h\). Сторона квадрата \(AB\) равна диаметру основания, то есть \(2r\). Сторона \(CD\), параллельная \(AB\), касается окружности нижнего основания, поэтому её расстояние от диаметра \(AB\) в плоскости основания равно \(r\).

В сечении, перпендикулярном \(AB\), получаем прямоугольный треугольник: его гипотенуза равна \(2r\), один катет равен \(r\), а другой — \(h\). Поэтому \(h^2=4r^2-r^2=3r^2\). Угол наклона плоскости квадрата к плоскости основания имеет тангенс \(\frac{h}{r}=\sqrt{3}\), значит, он равен \(60°\).

б) По условию \(h=\sqrt{6}\), значит, \(\sqrt{3}r=\sqrt{6}\), откуда \(r=\sqrt{2}\). Диагональ квадрата \(BD=2r\sqrt{2}=4\).

Отрезок \(BD\) выходит из цилиндра в точке пересечения с боковой поверхностью. Из подобия или по уравнению окружности получается, что внутри цилиндра находится \(\frac{4}{5}\) диагонали. Следовательно, искомая длина равна \(4\cdot\frac{4}{5}=\frac{16}{5}\).

Ответ: \(\frac{16}{5}\).

0 0 Пожаловаться