На стороне ab треугольника abc взята точка k. Найдите длину отрезка ck, если периметр треугольника ABC равен 43 см, а периметр треугольников ACK и BCK равны соответственно 26 см и 35 см.

Чтобы найти длину отрезка $CK$, воспользуемся данными о периметрах треугольников и свойствами сторон.

Дано:

• Периметр треугольника $\triangle ABC = 43 \, \text{см}$.
• Периметр треугольника $\triangle ACK = 26 \, \text{см}$.
• Периметр треугольника $\triangle BCK = 35 \, \text{см}$.

Обозначим стороны треугольника $ABC$:

• $AB = c$,
• $BC = a$,
• $AC = b$.

На стороне $AB$ выбрана точка $K$. Обозначим:

• $AK = x$,
• $BK = c - x$.

Теперь выразим периметры треугольников через $x$, $CK$, и стороны исходного треугольника:

1. Периметр треугольника $\triangle ACK$:

   $$AK + CK + AC = 26 \quad \Rightarrow \quad x + CK + b = 26.$$

2. Периметр треугольника $\triangle BCK$:

   $$BK + CK + BC = 35 \quad \Rightarrow \quad (c - x) + CK + a = 35.$$

3. Периметр треугольника $\triangle ABC$:

   $$AB + BC + AC = 43 \quad \Rightarrow \quad c + a + b = 43.$$

Решение:

Шаг 1: Выразим $b$ и $a$ через $c$:

Из третьего уравнения:

Шаг 2: Выразим $CK$:

Перепишем первое уравнение:

Подставим это выражение во второе уравнение:

Упростим:

Из третьего уравнения $a - b = 43 - c - 2b$, подставим:

Упростим дальше:

Шаг 3: Найдём $CK$:

Подставим $b = 17 - x$ в выражение для $CK$:

Ответ:

Длина отрезка $CK = 9 \, \text{см}$.