Доказать, что высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

Чтобы доказать, что высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой, рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = AC$ и основание $BC$. Пусть высота $h$ — это перпендикуляр, проведенный из вершины $A$ на основание $BC$.

1. Доказательство того, что высота является медианой:
   Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину с серединой основания. Рассмотрим точку $M$ — середину основания $BC$, то есть точку, для которой выполняется равенство $BM = MC$. Так как треугольник равнобедренный, то высота $h$ делит основание $BC$ пополам. Таким образом, точка $M$ является точкой пересечения высоты с основанием, и следовательно, высота $h$ является медианой, так как она соединяет вершину $A$ с серединой основания $BC$.

2. Доказательство того, что высота является биссектрисой:
   Биссектрисой угла называется отрезок, который делит угол пополам. Рассмотрим угол $\angle BAC$. Поскольку треугольник равнобедренный, то углы при основании $\angle ABC$ и $\angle ACB$ равны. Высота $h$, проведенная из вершины $A$, является также осью симметрии этого треугольника, и она делит угол $\angle BAC$ на два равных угла. Следовательно, высота $h$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, так как она делит его пополам.

Таким образом, высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и медианой, и биссектрисой.