В треугольнике со сторонами 37 и 10 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к большей из этих сторон, равна 7. Чему равна высота, проведённая к меньшей из этих сторон?

Чтобы найти высоту, проведённую к меньшей стороне треугольника, воспользуемся важным свойством треугольника: площадь треугольника можно выразить через любую сторону и высоту, проведённую к этой стороне. Для любой стороны площади равны, поэтому мы можем приравнять выражения площади через высоты, соответствующие сторонам 37 и 10.

1. Обозначения:

   • $a = 37$ — большая сторона;
   • $h_a = 7$ — высота, проведённая к стороне $a$;
   • $b = 10$ — меньшая сторона;
   • $h_b$ — высота, проведённая к стороне $b$, которую нужно найти.

2. Выражение площади через сторону $a$: Площадь треугольника равна:

   $$S = \frac{1}{2} a h_a.$$

   Подставляем известные значения:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 37 \cdot 7 = 129{,}5.$$

3. Выражение площади через сторону $b$: Площадь треугольника через сторону $b$ записывается так:

   $$S = \frac{1}{2} b h_b.$$

   Подставляем известные значения площади и стороны $b$:

   $$129{,}5 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h_b.$$

4. Найдем $h_b$: Умножаем обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

   $$259 = 10 \cdot h_b.$$

   Делим обе части на 10:

   $$h_b = 25{,}9.$$

5. Ответ: Высота, проведённая к меньшей стороне треугольника, равна $25{,}9$.