Исследование функции у=4х-х²

Функция $y = 4x - x^2$ представляет собой квадратичную функцию, так как она содержит член с $x^2$. Давайте подробнее разберем её свойства и поведение.

1. Общий вид функции:
   Функция $y = 4x - x^2$ может быть записана как:

   $$y = -x^2 + 4x$$

   Это убывающая парабола, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (минус перед $x^2$).

2. Вершина параболы:
   Чтобы найти вершину параболы, нужно использовать формулу для абсциссы вершины для квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$:

   $$x_{\text{верш}} = \frac{-b}{2a}$$

   В данном случае $a = -1$, $b = 4$, поэтому:

   $$x_{\text{верш}} = \frac{-4}{2(-1)} = 2$$

   Подставив $x = 2$ в исходную функцию, получаем:

   $$y_{\text{верш}} = 4(2) - (2)^2 = 8 - 4 = 4$$

   Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 4)$.

3. Направление ветвей:
   Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1$), ветви параболы направлены вниз. То есть, график будет иметь форму "печатной буквы V", ориентированной вниз.

4. Ось симметрии:
   Ось симметрии параболы проходит через абсциссу вершины, то есть через $x = 2$. Это прямая, по которой график симметричен.

5. Пересечение с осями:

   • Пересечение с осью $y$: Чтобы найти точку пересечения с осью $y$, подставляем $x = 0$:

     $$y = 4(0) - (0)^2 = 0$$

     Точка пересечения с осью $y$ — это $(0, 0)$.

   • Пересечение с осью $x$: Чтобы найти точки пересечения с осью $x$, приравниваем $y = 0$:

     $$0 = 4x - x^2$$

     Перепишем это уравнение:

     $$x(4 - x) = 0$$

     Это уравнение имеет два решения: $x = 0$ и $x = 4$. Таким образом, график пересекает ось $x$ в точках $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

6. Монотонность функции:

   • Функция возрастает на интервале $(-\infty, 2)$, так как производная функции $y' = 4 - 2x$ будет положительной на этом интервале.

   • Функция убывает на интервале $(2, \infty)$, так как производная функции будет отрицательной на этом интервале.

7. Поведение при $x \to \pm \infty$:
   При $x \to \infty$ или $x \to -\infty$, функция стремится к минус бесконечности, так как главный член в функции $-x^2$ будет доминировать, и парабола будет направлена вниз.

Таким образом, график функции $y = 4x - x^2$ представляет собой параболу, вершина которой в точке $(2, 4)$, ось симметрии — прямая $x = 2$, и она пересекает оси координат в точках $(0, 0)$ и $(4, 0)$.