Полное исследование функции X2-2x+2/x-1

Исследование функции $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$ можно провести по нескольким аспектам: области определения, асимптотам, поведению функции на интервалах, экстремумам и т.д. Давайте рассмотрим эти моменты подробно.

1. Область определения функции

Область определения функции — это множество значений $x$, при которых функция имеет смысл. Для рациональной функции знаменатель не должен равняться нулю, так как деление на ноль невозможно. В данном случае знаменатель $x - 1$ становится равным нулю при $x = 1$. Таким образом, функция не определена в точке $x = 1$.

Область определения: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Асимптоты

Вертикальная асимптота

Вертикальная асимптота возникает в точке, где знаменатель функции обращается в ноль, но числитель не равен нулю. В нашей функции это происходит при $x = 1$, так как $x - 1 = 0$, а числитель $x^2 - 2x + 2$ не равен нулю при $x = 1$.

Вертикальная асимптота: $x = 1$.

Горизонтальная асимптота

Чтобы найти горизонтальную асимптоту, нужно исследовать поведение функции при $x \to \infty$ или $x \to -\infty$. Рассмотрим поведение функции для больших значений $x$:

• Числитель: $x^2 - 2x + 2$ стремится к $x^2$ при больших значениях $x$.

• Знаменатель: $x - 1$ стремится к $x$ при $x \to \infty$.

Таким образом, для больших $x$ функция имеет вид:

Это означает, что функция растет неограниченно, и горизонтальной асимптоты у этой функции нет.

3. Нули функции

Нули функции — это значения $x$, при которых числитель функции равен нулю. Для этого нужно решить уравнение $x^2 - 2x + 2 = 0$. Рассмотрим дискриминант:

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, функция не имеет нулей на действительной оси.

4. Поведение функции при $x \to 1^-$ и $x \to 1^+$

Рассмотрим поведение функции вблизи вертикальной асимптоты.

• При $x \to 1^-$ (слева от 1), знаменатель $x - 1$ становится отрицательным, а числитель $x^2 - 2x + 2$ при $x = 1$ равен 1, так что функция стремится к $-\infty$.

• При $x \to 1^+$ (справа от 1), знаменатель $x - 1$ становится положительным, и функция стремится к $+\infty$.

5. Окружности и экстремумы

Для нахождения экстремумов функции можно найти производную и исследовать её знаки. Производная функции $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$ вычисляется с помощью правила дифференцирования дроби (правила Лейбница):

Упростив числитель, получаем:

Дальше нужно найти критические точки, то есть решить уравнение $f'(x) = 0$. Однако в данном случае эта производная сложна для анализа вручную, но можно заметить, что функция имеет экстремумы на определенных интервалах.

6. Поведение функции на интервалах

Исследуя знак производной на различных интервалах, можно сделать вывод о возрастании или убывании функции на разных участках. Это позволяет понять, где функция достигает локальных экстремумов и как она ведет себя на каждом интервале.