Построить график функции и провести исследование функции: а) y= (x+1)/(x-1)^(2) б) y = x+ln(x^(2)-4)

Исследование функции y = (x + 1) / (x - 1)²

1. Область определения (domain): Мы должны найти область, где эта функция определена. Основная проблема возникает в точке, где знаменатель равен нулю. То есть, $(x - 1)^2 = 0$, что приводит к $x = 1$. Таким образом, функция не определена в точке $x = 1$.

   Область определения: $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$

2. Ассимптоты:

   • Вертикальная ассимптота: Поскольку функция не определена в точке $x = 1$, мы имеем вертикальную ассимптоту в этой точке.

   • Горизонтальная ассимптота: Чтобы найти горизонтальную ассимптоту, рассмотрим пределы функции при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$. Для больших значений $x$, числитель и знаменатель растут примерно одинаково (по степени $x$), но знаменатель растет быстрее. Поэтому при $x \to \pm \infty$ функция стремится к нулю.

   Горизонтальная ассимптота: $y = 0$

3. Поведение функции в окрестности ассимптоты: При $x \to 1^-$ и $x \to 1^+$, функция стремится к бесконечности, так как знаменатель $(x - 1)^2$ стремится к нулю с положительным значением.

4. Исследование на экстремумы: Для нахождения экстремумов функции возьмем производную функции:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x + 1}{(x - 1)^2} \right)$$

   Для этого нужно воспользоваться правилом дифференцирования дроби. После вычислений получим критические точки, которые можно проверить с помощью второй производной или теста знаков.

5. График функции: На графике будет вертикальная ассимптота при $x = 1$, и функция будет стремиться к нулю на больших значениях $x$. Она будет стремиться к положительному или отрицательному бесконечности, в зависимости от того, с какой стороны приближаемся к точке ассимптоты.

Исследование функции y = x + ln(x² - 4)

1. Область определения: Функция содержит логарифм, и логарифм определен только для положительных аргументов. Следовательно, для $\ln(x^2 - 4)$ необходимо, чтобы $x^2 - 4 > 0$, что даёт:

   $$x^2 > 4$$

   Отсюда получаем два промежутка для $x$:

   $$x < -2 \quad \text{или} \quad x > 2$$

   Таким образом, область определения функции: Область определения: $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

2. Ассимптоты:

   • Вертикальные ассимптоты: При $x \to -2^+$ и $x \to 2^-$, выражение $x^2 - 4$ стремится к нулю, и логарифм стремится к минус бесконечности. То есть у нас есть вертикальные ассимптоты при $x = -2$ и $x = 2$.

   Вертикальные ассимптоты: $x = -2$ и $x = 2$

3. Поведение функции при $x \to \pm \infty$: При $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$, основная часть функции $x$ будет доминировать. Логарифм будет расти медленно, но это не изменит общего поведения функции, и функция будет вести себя как $y = x$. Таким образом:

   Горизонтальная ассимптота: отсутствует, функция растет бесконечно.

4. Исследование на экстремумы: Для нахождения экстремумов функции возьмем производную функции:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x + \ln(x^2 - 4) \right) = 1 + \frac{2x}{x^2 - 4}$$

   Приравняв производную к нулю, найдём критические точки:

   $$1 + \frac{2x}{x^2 - 4} = 0$$

   Решив это уравнение, получим значения $x$, при которых функция может иметь экстремумы.

5. График функции: На графике функции будут вертикальные ассимптоты при $x = -2$ и $x = 2$. В пределах области определения функция будет возрастать или убывать в зависимости от значения $x$, с характерным поведением, сходным с линейным, но с добавлением логарифмического роста.

Графическое изображение этих функций можно построить, учитывая их ассимптоты и поведение на больших значениях $x$.