Найти площадь треугольника АВС с вершинами А(-3,8,7), В(7,1,5), С(-5,10,8).

Для нахождения площади треугольника с вершинами в трехмерном пространстве, нам нужно воспользоваться формулой через векторное произведение двух сторон треугольника.

1. Для начала определим два вектора, исходящие из одной вершины, например, из вершины $A(-3, 8, 7)$. Вектора будут направлены к вершинам $B(7, 1, 5)$ и $C(-5, 10, 8)$.

   Вектор $\overrightarrow{AB} = B - A = (7 - (-3), 1 - 8, 5 - 7) = (10, -7, -2)$.

   Вектор $\overrightarrow{AC} = C - A = (-5 - (-3), 10 - 8, 8 - 7) = (-2, 2, 1)$.

2. Далее вычислим векторное произведение $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$. Формула для векторного произведения двух векторов $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ и $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ следующая:

   $$\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$$

   Для наших векторов $\overrightarrow{AB} = (10, -7, -2)$ и $\overrightarrow{AC} = (-2, 2, 1)$, получаем:

   $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = ((-7)(1) - (-2)(2), (-2)(-2) - (10)(1), (10)(2) - (-7)(-2))$$ $$= (-7 + 4, 4 - 10, 20 - 14)$$ $$= (-3, -6, 6)$$

3. Теперь находим длину векторного произведения, которая будет равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах:

   $$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36 + 36} = \sqrt{81} = 9$$

4. Площадь треугольника равна половине площади этого параллелограмма, то есть:

   $$S = \frac{1}{2} \times 9 = 4,5$$

Таким образом, площадь треугольника $ABC$ равна 4,5 квадратных единиц.