решить уравнение: 6/(x-2) + 5/x = 3

Для решения уравнения $\frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} = 3$, следуем следующим шагам.

1. Найдем общий знаменатель:

   В данном уравнении два дробных выражения: $\frac{6}{x-2}$ и $\frac{5}{x}$. Чтобы привести их к общему знаменателю, нужно взять наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей $x - 2$ и $x$. НОК этих выражений — это произведение $(x-2) \cdot x$.

2. Приводим обе части уравнения к общему знаменателю:

   Для этого умножим первую дробь на $x$, а вторую — на $x - 2$:

   $$\frac{6}{x-2} \cdot \frac{x}{x} = \frac{6x}{(x-2)x}$$ $$\frac{5}{x} \cdot \frac{x-2}{x-2} = \frac{5(x-2)}{(x-2)x}$$

3. Подставим в исходное уравнение:

   Теперь у нас получается:

   $$\frac{6x}{(x-2)x} + \frac{5(x-2)}{(x-2)x} = 3$$

4. Приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

   Поскольку знаменатели одинаковые, можем объединить числители:

   $$\frac{6x + 5(x-2)}{(x-2)x} = 3$$

   Упростим числитель:

   $$6x + 5(x-2) = 6x + 5x - 10 = 11x - 10$$

   Теперь у нас уравнение:

   $$\frac{11x - 10}{(x-2)x} = 3$$

5. Умножим обе части уравнения на $(x-2)x$, чтобы избавиться от знаменателя:

   $$11x - 10 = 3(x-2)x$$

6. Раскрываем скобки:

   $$11x - 10 = 3x^2 - 6x$$

7. Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

   $$0 = 3x^2 - 6x - 11x + 10$$

   Упростим:

   $$0 = 3x^2 - 17x + 10$$

8. Решаем квадратное уравнение:

   Это стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Мы можем решить его с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   В нашем случае $a = 3$, $b = -17$, $c = 10$. Подставляем в формулу:

   $$x = \frac{-(-17) \pm \sqrt{(-17)^2 - 4(3)(10)}}{2(3)}$$ $$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 120}}{6}$$ $$x = \frac{17 \pm \sqrt{169}}{6}$$ $$x = \frac{17 \pm 13}{6}$$

9. Находим корни уравнения:

   Теперь находим два возможных значения для $x$:

   $$x_1 = \frac{17 + 13}{6} = \frac{30}{6} = 5$$