Решить уравнение √(х+2) = х-3

Ответы на вопрос

Отвечает Яковлев Артём.

Решим уравнение:

\sqrt{x + 2} = x - 3

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2

Также правая часть уравнения — $x - 3$ — должна быть неотрицательной, так как левая часть — корень, который не может быть отрицательным:

x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3

Таким образом, ОДЗ: $x \geq 3$ .

(\sqrt{x + 2})^2 = (x - 3)^2 \Rightarrow x + 2 = x^2 - 6x + 9

x + 2 - x^2 + 6x - 9 = 0 \Rightarrow -x^2 + 7x - 7 = 0 \Rightarrow x^2 - 7x + 7 = 0

(умножили обе части на -1, чтобы было проще решать)

x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 28}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{21}}{2}

Корни:

x_1 = \frac{7 + \sqrt{21}}{2}, \quad x_2 = \frac{7 - \sqrt{21}}{2}

Оценим:

Только $x_1 \approx 5.79$ удовлетворяет ОДЗ ( $x \geq 3$ ), а $x_2$ — нет, значит отбрасываем его.

Подставим $x = \frac{7 + \sqrt{21}}{2}$ в исходное уравнение:

Левая часть:

\sqrt{x + 2} = \sqrt{\frac{7 + \sqrt{21}}{2} + 2} = \sqrt{\frac{11 + \sqrt{21}}{2}}

Правая часть:

x - 3 = \frac{7 + \sqrt{21}}{2} - 3 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Ответы на вопрос