Решить неравенство: 2x-7 / 4-x ≥ 0 (это дробь)

Рассмотрим неравенство:

Это дробно-рациональное неравенство. Чтобы его решить, нужно определить, при каких значениях числитель и знаменатель одновременно положительные или одновременно отрицательные (так как только в этих случаях дробь будет неотрицательной, т.е. ≥ 0).

Шаг 1. Найдём нули числителя и знаменателя

Числитель: $2x - 7 = 0$

Знаменатель: $4 - x = 0$

Точка $x = \frac{7}{2}$ — это нулевой (в числителе дробь равна 0).
Точка $x = 4$ — это точка разрыва (в знаменателе дробь не определена, деление на 0 запрещено).

Шаг 2. Отметим эти точки на числовой прямой и разобьём прямую на интервалы

Имеем три интервала:

1. $(-\infty; \frac{7}{2})$

2. $\left(\frac{7}{2}; 4\right)$

3. $(4; +\infty)$

Также отдельно рассмотрим точку $x = \frac{7}{2}$, где дробь равна нулю (возможное включение в ответ), и исключим точку $x = 4$, так как там знаменатель обращается в ноль.

Шаг 3. Определим знак дроби на каждом интервале

Проверим знак выражения $\frac{2x - 7}{4 - x}$ на каждом интервале. Подставим тестовые значения из каждого интервала:

1. Интервал $(-\infty; \frac{7}{2})$
   Возьмём, например, $x = 3$:

   $$\frac{2 \cdot 3 - 7}{4 - 3} = \frac{6 - 7}{1} = \frac{-1}{1} = -1 < 0$$

   ⇒ Знак отрицательный.

2. Интервал $\left(\frac{7}{2}; 4\right)$
   Возьмём, например, $x = 3.8$:

   $$\frac{2 \cdot 3.8 - 7}{4 - 3.8} = \frac{7.6 - 7}{0.2} = \frac{0.6}{0.2} = 3 > 0$$

   ⇒ Знак положительный.

3. Интервал $(4; +\infty)$
   Возьмём, например, $x = 5$:

   $$\frac{2 \cdot 5 - 7}{4 - 5} = \frac{10 - 7}{-1} = \frac{3}{-1} = -3 < 0$$

   ⇒ Знак отрицательный.

Шаг 4. Учитываем знак неравенства "≥ 0"

Нам нужно найти те значения $x$, при которых дробь неотрицательная — то есть либо положительная, либо равная нулю.

• На интервале $\left(\frac{7}{2}; 4\right)$ дробь положительная.

• В точке $x = \frac{7}{2}$ числитель равен 0, знаменатель $4 - \frac{7}{2} = \frac{1}{2} > 0$, значит, дробь равна нулю — точку включаем.

• Точку $x = 4$ исключаем (деление на 0).

Ответ: