Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена \( x^2 + 3x - 1 \).

Для выделения полного квадрата из выражения $x^2 + 3x - 1$, необходимо преобразовать его в форму $(x + a)^2 + b$, где $a$ и $b$ — некоторые числа, которые мы найдем.

1. Начнем с выделения квадратной части из выражения $x^2 + 3x$. Для этого разделим коэффициент при $x$ на 2 и возведем его в квадрат. У нас есть $3x$, поэтому делим 3 на 2 и получаем $\frac{3}{2}$. Возводим это в квадрат: $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.

2. Теперь добавим и вычтем это значение в выражении $x^2 + 3x$:

   $$x^2 + 3x = \left(x^2 + 3x + \frac{9}{4}\right) - \frac{9}{4}.$$

   Таким образом, мы можем записать:

   $$x^2 + 3x = \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}.$$

3. Теперь учитываем оставшийся член, который был в исходном выражении — это $-1$. Подставим его в нашу формулу:

   $$x^2 + 3x - 1 = \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} - 1.$$

4. Упростим $- \frac{9}{4} - 1$. Преобразуем $1$ в дробь с делителем 4:

   $$1 = \frac{4}{4}, \quad \text{поэтому} \quad - \frac{9}{4} - 1 = - \frac{9}{4} - \frac{4}{4} = - \frac{13}{4}.$$

5. Итак, окончательное выражение будет:

   $$x^2 + 3x - 1 = \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{13}{4}.$$

Таким образом, мы выделили квадрат двучлена из квадратного трёхчлена $x^2 + 3x - 1$, и результат выглядит так: