Log1/2(x-3) больше 2

Для решения неравенства $\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) > 2$ нужно выполнить несколько шагов.

1. Перепишем логарифм в экспоненциальной форме:

   Логарифм с основанием $\frac{1}{2}$ можно записать в экспоненциальной форме как:

   $$\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) = 2 \quad \text{эквивалентно} \quad \left(\frac{1}{2}\right)^2 = x - 3$$

   Это даёт:

   $$\frac{1}{4} = x - 3$$

2. Решаем полученное уравнение:

   Добавляем 3 к обеим частям:

   $$x = 3 + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}$$

   Таким образом, $x = \frac{13}{4}$.

3. Анализируем неравенство:

   Так как основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1, логарифмическая функция убывает. То есть, при увеличении $x - 3$ значение логарифма будет уменьшаться.

   Неравенство $\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) > 2$ означает, что значение $x - 3$ должно быть меньше, чем $\frac{1}{4}$, поскольку логарифм с основанием меньше 1 убывает.

   Таким образом, имеем:

   $$x - 3 < \frac{1}{4}$$

4. Решаем это неравенство:

   Добавляем 3 к обеим частям:

   $$x < 3 + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}$$

5. Ограничение по существованию логарифма:

   Важно также помнить, что $x - 3$ должно быть положительным, то есть $x - 3 > 0$, что даёт $x > 3$.

   Итак, мы получаем систему:

   $$3 < x < \frac{13}{4}$$

Ответ: $x$ должно лежать в интервале $(3, \frac{13}{4})$.