Используя свойства степеней найдите значение выражения: 32^3*8^2/16^5; 3^10*7^10/21^8;6^15/2^13*3^13;20^10/5^10*4^10;2^8*(2^3)^2:2^12;7^15:(7^5)^2:7^3

Давайте пошагово решим каждое выражение, используя свойства степеней.

1. $32^3 \cdot 8^2 / 16^5$

   Для начала представим все числа в виде степеней двойки:

   $$32 = 2^5, \quad 8 = 2^3, \quad 16 = 2^4.$$

   Теперь перепишем выражение:

   $$(2^5)^3 \cdot (2^3)^2 / (2^4)^5.$$

   Используем правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

   $$2^{15} \cdot 2^6 / 2^{20}.$$

   Теперь сложим и вычтем степени, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

   $$2^{15 + 6 - 20} = 2^1.$$

   Ответ: $2^1 = 2$.

2. $3^{10} \cdot 7^{10} / 21^8$

   Разложим 21 на множители:

   $$21 = 3 \cdot 7.$$

   Теперь перепишем выражение:

   $$3^{10} \cdot 7^{10} / (3 \cdot 7)^8 = 3^{10} \cdot 7^{10} / (3^8 \cdot 7^8).$$

   Разделим степени одинаковых оснований:

   $$3^{10-8} \cdot 7^{10-8} = 3^2 \cdot 7^2.$$

   Ответ: $3^2 \cdot 7^2 = 9 \cdot 49 = 441$.

3. $6^{15} / 2^{13} \cdot 3^{13}$

   Разложим 6 на множители:

   $$6 = 2 \cdot 3.$$

   Теперь перепишем выражение:

   $$(2 \cdot 3)^{15} / 2^{13} \cdot 3^{13}.$$

   Используем правило $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$:

   $$2^{15} \cdot 3^{15} / 2^{13} \cdot 3^{13}.$$

   Теперь упростим:

   $$2^{15-13} \cdot 3^{15-13} = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36.$$

   Ответ: 36.

4. $20^{10} / 5^{10} \cdot 4^{10}$

   Разложим 20 и 4 на множители:

   $$20 = 2^2 \cdot 5, \quad 4 = 2^2.$$

   Теперь перепишем выражение:

   $$(2^2 \cdot 5)^{10} / 5^{10} \cdot (2^2)^{10}.$$

   Используем свойства степеней:

   $$2^{20} \cdot 5^{10} / 5^{10} \cdot 2^{20}.$$

   Упростим:

   $$2^{20-20} \cdot 5^{10-10} = 2^0 \cdot 5^0 = 1 \cdot 1 = 1.$$