Чему равно значение выражения? 2^(n)*C0n+2^(n−1)*C1n+2^(n−2)*C2n+…+2*Cn−1n+Cnn В качестве ответа

Ответы на вопрос

Отвечает Шамсияров Эмиль.

Чтобы найти значение выражения для $n = 10$ , сначала внимательно разберем структуру данного выражения:

2^n \cdot C_0^n + 2^{n-1} \cdot C_1^n + 2^{n-2} \cdot C_2^n + \ldots + 2 \cdot C_{n-1}^n + C_n^n

где $C_k^n$ — это биномиальный коэффициент, вычисляемый как:

C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Каждое слагаемое состоит из двух множителей:

Объединим это выражение с использованием свойства биномиального разложения. Мы знаем, что:

\sum_{k=0}^n C_k^n \cdot x^k = (1+x)^n

Подставим $x = 2$ . Тогда:

\sum_{k=0}^n C_k^n \cdot 2^k = (1+2)^n = 3^n

Теперь заметим, что наше исходное выражение можно получить, если каждое слагаемое умножить на $2^{n-k}$ :

\sum_{k=0}^n C_k^n \cdot 2^{n-k} = 2^n \cdot \sum_{k=0}^n C_k^n \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k

Используя тот же биномиальный разложение, но с $x = \frac{1}{2}$ , получим:

\sum_{k=0}^n C_k^n \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k = \left(1 + \frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{3}{2}\right)^n

Подставим это в выражение:

\sum_{k=0}^n 2^{n-k} \cdot C_k^n = 2^n \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^n

Или, объединив:

\sum_{k=0}^n 2^{n-k} \cdot C_k^n = 3^n

Теперь вычислим $3^{10}$ :

3^{10} = 59049

59049

Последние заданные вопросы в категории Математика

Чему равно значение выражения? 2^(n)C0n+2^(n−1)C1n+2^(n−2)C2n+…+2Cn−1n+Cnn

В качестве ответа введите значение выражения для n=10.