Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной: y=(x-1)^3

Давайте решим задачу по порядку.

Дана функция $y = (x - 1)^3$. Нам нужно найти область определения и множество значений функции, обратной к данной.

1. Нахождение обратной функции

Чтобы найти обратную функцию, нужно выразить $x$ через $y$. Начнем с того, что $y = (x - 1)^3$. Разберем это выражение:

Теперь извлечем кубический корень из обеих сторон уравнения:

Добавим 1 с обеих сторон, чтобы выразить $x$:

Таким образом, функция, обратная к данной, имеет вид:

2. Область определения обратной функции

Область определения обратной функции — это множество значений, для которых существует значение $x$, которое можно подставить в обратную функцию. Поскольку кубический корень существует для всех действительных чисел, область определения обратной функции будет включать все действительные числа. То есть:

3. Множество значений обратной функции

Множество значений обратной функции — это область определения исходной функции. Поскольку $y = (x - 1)^3$ принимает все возможные значения от минус бесконечности до плюс бесконечности (так как кубическая функция определена для всех $x$ и может принимать любые значения), то множество значений обратной функции тоже будет равно $\mathbb{R}$:

Ответ:

• Область определения обратной функции: $D(f^{-1}) = \mathbb{R}$.

• Множество значений обратной функции: $E(f^{-1}) = \mathbb{R}$.