Найти область определения функции, промежутки монотонности и экстремумы: y = 2 + 3x - x³

Для нахождения области определения функции, промежутков монотонности и экстремумов функции $y = 2 + 3x - x^3$, выполните следующие шаги:

1. Область определения функции

Функция $y = 2 + 3x - x^3$ является полиномиальной функцией. Полиномиальные функции определены для всех значений $x$, так как нет ограничений на $x$ (например, деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа). Поэтому область определения данной функции — это весь набор действительных чисел, или $(-\infty, \infty)$.

2. Промежутки монотонности

Чтобы найти промежутки монотонности, нужно найти производную функции, так как она покажет, в каких точках функция возрастает или убывает.

Шаг 1: Находим первую производную функции.

Функция $y = 2 + 3x - x^3$ дифференцируется следующим образом:

Шаг 2: Находим критические точки.

Для этого приравняем производную к нулю:

Решаем это уравнение:

Таким образом, критические точки — это $x = -1$ и $x = 1$.

Шаг 3: Определяем знаки производной.

Для того чтобы понять, в каких промежутках функция возрастает, а в каких убывает, рассмотрим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками $x = -1$ и $x = 1$. Разделим ось на три промежутка:

• $(-\infty, -1)$

• $(-1, 1)$

• $(1, \infty)$

Выберем тестовые точки из каждого промежутка:

• Для $x = -2$ (при $x < -1$): $3 - 3(-2)^2 = 3 - 12 = -9$. Производная отрицательна, значит, функция убывает на интервале $(-\infty, -1)$.

• Для $x = 0$ (при $-1 < x < 1$): $3 - 3(0)^2 = 3$. Производная положительна, значит, функция возрастает на интервале $(-1, 1)$.

• Для $x = 2$ (при $x > 1$): $3 - 3(2)^2 = 3 - 12 = -9$. Производная отрицательна, значит, функция убывает на интервале $(1, \infty)$.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-1, 1)$ и убывает на промежутках $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$.

3. Экстремумы

Теперь найдем экстремумы функции. Экстремумы могут быть максимальными или минимальными. Для этого нужно исследовать поведение функции в критических точках $x = -1$ и $x = 1$.

Шаг 1: Находим значения функции в критических точках.

• При $x = -1$:

  $$y(-1) = 2 + 3(-1) - (-1)^3 = 2 - 3 + 1 = 0.$$

• При $x = 1$:

  $$y(1) = 2 + 3(1) - (1)^3 = 2 + 3 - 1 = 4.$$

Шаг 2: Определяем тип экстремума.

• На промежутке $(-\infty, -1)$ функция убывает, а на промежутке $(-1, 1)$ возрастает, следовательно, в точке $x = -1$ находится минимум.

• На промежутке $(1, \infty)$ функция убывает, а на промежутке $(-1, 1)$ возрастает, следовательно, в точке $x = 1$ находится максимум.

Ответ:

• Область определения функции: $(-\infty, \infty)$.

• Промежутки монотонности: функция возрастает на интервале $(-1, 1)$, убывает на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$.

• Экстремумы: минимум в точке $x = -1$ (значение $y = 0$) и максимум в точке $x = 1$ (значение $y = 4$).