Докажите признак параллельности прямой и плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости формулируется следующим образом:

Если прямая параллельна какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости, и не лежит в этой плоскости, то она параллельна всей плоскости.

Подробное доказательство:

Рассмотрим плоскость α и прямую a, которая не лежит в этой плоскости, но параллельна прямой b, причем b лежит в плоскости α. Нужно доказать, что прямая a параллельна плоскости α.

Дано:

• Прямая a не лежит в плоскости α.

• Прямая b ⊂ α.

• Прямая a ∥ b.

Требуется доказать:

a ∥ α.

Доказательство:

1. Так как прямая a параллельна прямой b, то по определению это означает, что они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2. Предположим противное: прямая a пересекает плоскость α в некоторой точке M.

3. Так как b лежит в α, и a проходит через точку M, то через a и b можно провести единственную плоскость (обозначим её π), поскольку через две пересекающиеся или параллельные прямые всегда проходит одна плоскость.

4. Эта плоскость π содержит прямую a и точку M ∈ α, а также прямую b ⊂ α. Следовательно, π и α имеют как минимум две общие точки (точку M и прямую b, содержащую бесконечно много точек), а значит, они совпадают: π = α.

5. Но тогда из того, что a лежит в π, и π = α, следует, что a ⊂ α, то есть a лежит в плоскости α, что противоречит условию, что a не лежит в α.

6. Следовательно, предположение о пересечении прямой a с плоскостью α неверно. Значит, прямая a не пересекает плоскость α.

7. При этом она параллельна прямой b, лежащей в этой плоскости.

8. Следовательно, по определению прямая a параллельна плоскости α.

Вывод:

Таким образом, доказано, что если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, и сама в этой плоскости не лежит, то она параллельна всей плоскости.