Sin альфа + cos альфа =?

Если дана формула:

sin α + cos α = ?

То на этот вопрос нельзя ответить одним числом, потому что значение выражения зависит от угла α. Однако можно упростить выражение, представив его в виде одной тригонометрической функции. Для этого используется известный приём приведения суммы синуса и косинуса к выражению с синусом (или косинусом) сдвинутого угла.

Рассмотрим следующее:

Мы можем выразить сумму через синус одного угла с помощью формулы:

sin α + cos α = √2 · sin(α + π/4)

или, в градусах:

sin α + cos α = √2 · sin(α + 45°)

Это полезная и часто используемая тригонометрическая идентичность. Она работает для любых значений α.

Как это получается:

Идея заключается в том, чтобы представить сумму в виде A·sin(α + φ). Для этого находим амплитуду:

• A = √(1² + 1²) = √2

• φ = arctg(1/1) = π/4 (или 45°)

То есть:

sin α + cos α = √2 · sin(α + π/4)

Таким образом, выражение sin α + cos α можно упростить и переписать в виде √2·sin(α + π/4).