В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 27, острый угол равен 60°. Найдите ее периметр.

Обозначим равнобедренную трапецию $ABCD$ так, что основания $AB\parallel CD$, причём $AB=27$ (большее основание) и $CD=12$ (меньшее основание). Пусть острый угол при основании $AB$ равен $60^\circ$, то есть $\angle A=\angle B=60^\circ$. Тогда боковые стороны равны: $AD=BC$.

1. Горизонтальные проекции боковых сторон

Опустим из вершин $C$ и $D$ перпендикуляры на основание $AB$ (пусть они пересекают $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно).

• В прямоугольном треугольнике $ADF$ угол при $A$ равен $60^\circ$, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны $AD$ на основание равна

  $$AF = AD\cos 60^\circ = \tfrac12 AD.$$

• Аналогично в треугольнике $BCE$ получаем

  $$BE = BC\cos 60^\circ = \tfrac12 AD.$$

2. Связь оснований

Отрезок $EF$ на основании $AB$ равен меньшему основанию $CD$, а вся длина $AB$ складывается из трёх участков:

Подставив $AB=27$ и $CD=12$, найдём боковую сторону:

3. Периметр

Периметр трапеции — сумма всех четырёх сторон:

Ответ: 69.