Помогите пожалуйста.найти точки экстремумы функции: у=х^2+9/x

Конечно, давайте подробно разберём, как найти точки экстремума функции:

$y = x^2 + \frac{9}{x}$

Шаг 1: Найдём производную функции

Для нахождения экстремумов нужно найти критические точки, для чего нужно вычислить производную функции и приравнять её к нулю:

Воспользуемся правилом производной:

Шаг 2: Приравняем производную к нулю

Переносим дробь вправо:

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

Это и есть критическая точка. Она приближённо равна $x \approx 1.65$.

Шаг 3: Проверим, является ли точка экстремумом

Проверим знак производной слева и справа от точки $x = \sqrt[3]{\frac{9}{2}}$.

Пусть это значение обозначим $x_0$. Возьмём значения:

• $x_1 < x_0$, например $x = 1$

• $x_2 > x_0$, например $x = 2$

Посчитаем производную в этих точках:

1. При $x = 1$:
   $y' = 2(1) - \frac{9}{1^2} = 2 - 9 = -7$ → производная отрицательна

2. При $x = 2$:
   $y' = 2(2) - \frac{9}{4} = 4 - 2.25 = 1.75$ → производная положительна

То есть производная меняет знак с минуса на плюс — значит, в точке $x = \sqrt[3]{\frac{9}{2}}$ функция имеет минимум.

Ответ:

Функция $y = x^2 + \frac{9}{x}$ имеет экстремум в точке

и это точка минимума.