Найдите локальные экстремумы функции: \( f(x) = -x^2 + 2x \).

Для того чтобы найти локальные экстремумы функции $f(x) = -x^2 + 2x$, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции.

Производная функции $f(x) = -x^2 + 2x$ по правилу дифференцирования будет:

2. Приравняем первую производную к нулю.

Чтобы найти критические точки (возможные экстремумы), приравняем первую производную к нулю:

Решим это уравнение:

3. Определим тип экстремума с помощью второй производной.

Для этого нужно найти вторую производную функции $f(x)$. Дифференцируем $f'(x) = -2x + 2$:

Вторая производная равна $-2$, что является отрицательным числом. Это означает, что точка $x = 1$ является локальным максимумом.

4. Вычислим значение функции в точке экстремума.

Теперь, чтобы найти значение функции в точке $x = 1$, подставим $x = 1$ в исходную функцию $f(x) = -x^2 + 2x$:

Итак, локальный экстремум функции $f(x) = -x^2 + 2x$ — это локальный максимум в точке $x = 1$ с значением $f(1) = 1$.