F(x)=x+4/x найти экстремумы

Ответы на вопрос

Отвечает Апенкова Катя.

Чтобы найти экстремумы функции $F(x) = \frac{x + 4}{x}$ , сначала упростим выражение и затем найдем производную, чтобы определить критические точки.

Шаг 1: Упростим функцию

Запишем функцию в виде суммы:

F(x) = \frac{x}{x} + \frac{4}{x} = 1 + \frac{4}{x}

Но этот вид не очень помогает для взятия производной, лучше оставить в дробной форме:

F(x) = \frac{x + 4}{x}

Шаг 2: Найдём производную

Используем правило производной дроби:

F(x) = \frac{u(x)}{v(x)} = \frac{x + 4}{x}

Тогда по правилу производной частного:

F'(x) = \frac{(x)' \cdot x - (x + 4) \cdot (x)'}{x^2}

F'(x) = \frac{1 \cdot x - (x + 4) \cdot 1}{x^2} = \frac{x - x - 4}{x^2} = \frac{-4}{x^2}

Шаг 3: Найдём критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует.

Рассмотрим:

F'(x) = \frac{-4}{x^2}

Производная существует всюду, кроме $x = 0$ , где функция тоже не определена. Посмотрим, может ли производная быть равна нулю:

\frac{-4}{x^2} = 0

Такого быть не может, потому что числитель — константа $-4$ , а знаменатель — $x^2 > 0$ при любом $x \ne 0$ . Значит, производная никогда не равна нулю, но всегда отрицательна.

Шаг 4: Поведение производной и вывод

Так как $F'(x) = \frac{-4}{x^2} < 0$ для всех допустимых $x \ne 0$ , функция строго убывает на каждом из промежутков:

$(-\infty, 0)$
$(0, +\infty)$

Шаг 5: Вывод об экстремумах

Так как функция строго убывает на всём своём множестве определения, локальных минимумов и максимумов у неё нет. Также, в точке $x = 0$ функция не определена, так что там нельзя говорить об экстремуме.

Ответ:

Экстремумов у функции $F(x) = \frac{x + 4}{x}$ нет, поскольку производная нигде не равна нулю и функция строго убывает на всём своём множестве определения.