Найти экстремумы функции
a) f(x)=x^ 3 -3x^ 2 +2x+4
б) f(x) = 3e ^ (2x) - 2e ^ (3x)

Для нахождения экстремумов функции нужно найти критические точки, а для этого требуется взять производную функции и найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.

a) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 4$

1. Находим первую производную:

   $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$$

2. Решаем уравнение $f'(x) = 0$:

   $$3x^2 - 6x + 2 = 0$$

   Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

   $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 36 - 24 = 12$$

   Корни уравнения:

   $$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$

   Таким образом, критические точки:

   $$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad x_2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$$

3. Проверяем вторую производную:

   $$f''(x) = 6x - 6$$

   Подставляем $x_1$ и $x_2$ в $f''(x)$ для определения характера критических точек:

   • Для $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$: $f''(x_1) > 0$, значит, это точка минимума.
   • Для $x_2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$: $f''(x_2) < 0$, значит, это точка максимума.

б) $f(x) = 3e^{2x} - 2e^{3x}$

1. Находим первую производную:

   $$f'(x) = 3 \cdot 2e^{2x} - 2 \cdot 3e^{3x} = 6e^{2x} - 6e^{3x}$$

2. Решаем уравнение $f'(x) = 0$:

   $$6e^{2x} - 6e^{3x} = 0$$ $$e^{2x}(1 - e^x) = 0$$

   Так как $e^{2x} \neq 0$, то:

   $$1 - e^x = 0 \Rightarrow e^x = 1$$

   Следовательно, $x = 0$.

3. Проверяем вторую производную:

   $$f''(x) = 12e^{2x} - 18e^{3x}$$