Найти экстремумы функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 \).

Для нахождения экстремумов функции $f(x) = x^3 - 3x^2$, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем производную функции $f'(x)$. Экстремумы могут быть только там, где производная функции равна нулю или не существует.

   Производная функции $f(x) = x^3 - 3x^2$ по правилу дифференцирования будет:

   $$f'(x) = 3x^2 - 6x$$

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти возможные экстремумы:

   $$3x^2 - 6x = 0$$

   Вынесем общий множитель $3x$:

   $$3x(x - 2) = 0$$

   Это уравнение имеет два корня: $x = 0$ и $x = 2$.

3. Проверим, являются ли эти точки экстремумами. Для этого вычислим вторую производную функции $f''(x)$.

   Вторая производная:

   $$f''(x) = 6x - 6$$

   Теперь подставим найденные значения $x = 0$ и $x = 2$ в $f''(x)$:

   • Для $x = 0$:

     $$f''(0) = 6(0) - 6 = -6$$

     Поскольку $f''(0) < 0$, точка $x = 0$ является максимумом.

   • Для $x = 2$:

     $$f''(2) = 6(2) - 6 = 6$$

     Поскольку $f''(2) > 0$, точка $x = 2$ является минимумом.

4. Подытожим. Экстремумы функции $f(x) = x^3 - 3x^2$:

   • Точка $x = 0$ — это локальный максимум.

   • Точка $x = 2$ — это локальный минимум.

5. Найдем значения функции в этих точках:

   • $f(0) = 0^3 - 3(0)^2 = 0$

   • $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = 8 - 12 = -4$

Таким образом, экстремумы функции $f(x) = x^3 - 3x^2$ находятся в точках $x = 0$ (максимум) и $x = 2$ (минимум).