Найти промежутки монотонности y=(x+2)/(x^2-1)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x+2}{x^2 - 1}$ и найдем её промежутки монотонности — участки, на которых функция возрастает или убывает.

1. Область определения

Функция не определена в тех точках, где знаменатель равен нулю:

Значит, область определения: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty)$

2. Производная функции

Для нахождения промежутков монотонности найдём производную:

Применим правило производной дроби:

Считаем:

• $(x^2 - 1)' = 2x$

• $(x+2)' = 1$

Подставим:

Раскроем скобки в числителе:

3. Анализ производной

Производная определена на той же области, что и функция, кроме точек $x = \pm1$, так как в этих точках знаменатель обнуляется.

Исследуем знак производной. Знаменатель $(x^2 - 1)^2 > 0$ на всей области определения (квадрат всегда положителен, кроме точек разрыва). Поэтому знак производной определяется только числителем:

Решим неравенство $x^2 + 4x + 1 = 0$, чтобы найти возможные критические точки.

Дискриминант:

Корни:

То есть числитель положителен вне промежутка $(-2 + \sqrt{3}, -2 - \sqrt{3})$ и отрицателен внутри него.

Но нас интересуют только те значения $x$, которые входят в область определения:

• Интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, \infty)$

Разберем каждый интервал отдельно:

Интервал $(-\infty, -1)$:

На этом промежутке выберем тестовую точку, например $x = -2$