Что такое промежутки монотонности?

Промежутки монотонности — это интервалы на графике функции, на которых функция либо возрастает, либо убывает, то есть на этих промежутках функция сохраняет свойство монотонности.

Для понимания, что это такое, давайте разберем подробнее:

1. Монотонность функции — это свойство функции, когда её значения либо всегда увеличиваются, либо всегда уменьшаются при увеличении независимой переменной (например, $x$).

   • Если функция возрастает на некотором интервале, это значит, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ на этом интервале, где $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

   • Если функция убывает на интервале, то для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ на этом интервале, где $x_1 < x_2$, выполняется $f(x_1) > f(x_2)$.

2. Промежутки монотонности — это такие интервалы, на которых функция либо монотонно возрастает, либо монотонно убывает. Эти интервалы можно найти, исследуя производную функции.

3. Чтобы найти промежутки монотонности функции, нужно:

   • Найти её производную.

   • Определить критические точки, то есть те точки, где производная равна нулю или не существует.

   • Проанализировать знак производной на каждом промежутке между критическими точками. Если производная положительна на интервале, функция возрастает на этом промежутке. Если производная отрицательна, то функция убывает.

Таким образом, промежутки монотонности дают важную информацию о поведении функции на различных интервалах её определения.