Найти промежутки возрастания и убывания производной y=x^2+8x

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции $y = x^2 + 8x$, нужно сначала найти её первую производную и затем определить, на каких промежутках эта производная положительна или отрицательна.

Шаг 1: Находим первую производную функции.

Для функции $y = x^2 + 8x$ производная будет:

Шаг 2: Находим критические точки.

Чтобы найти критические точки, приравниваем первую производную к нулю:

Решаем уравнение:

Это единственная критическая точка.

Шаг 3: Определяем промежутки возрастания и убывания.

Теперь, чтобы понять, на каких промежутках функция возрастает или убывает, исследуем знак первой производной $y' = 2x + 8$ на интервалах, разделённых критической точкой $x = -4$.

• Для $x < -4$ (например, возьмём $x = -5$): $y' = 2(-5) + 8 = -10 + 8 = -2$, то есть производная отрицательна. Это означает, что функция убывает на интервале $(-\infty, -4)$.

• Для $x > -4$ (например, возьмём $x = 0$): $y' = 2(0) + 8 = 8$, то есть производная положительна. Это означает, что функция возрастает на интервале $(-4, \infty)$.

Ответ:

• Функция убывает на интервале $(-\infty, -4)$.

• Функция возрастает на интервале $(-4, \infty)$.