f(x)=4-x⁴. Найти промежутки возрастания и убывания функции (через производную).

Рассмотрим функцию:
f(x) = 4 - x⁴.

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, воспользуемся производной. Это стандартный метод анализа поведения функции.

Шаг 1: Найдём производную функции

f(x) = 4 - x⁴
f′(x) = d/dx [4 - x⁴] = 0 - 4x³ = -4x³

Шаг 2: Найдём критические точки

Производная равна нулю в точках, где возможно изменение возрастания/убывания:
f′(x) = -4x³ = 0
=> x = 0

Также проверим, где производная определена. Она определена при всех x ∈ ℝ, потому что это многочлен.

Шаг 3: Исследуем знак производной на промежутках

Разделим числовую прямую на интервалы, исходя из критической точки x = 0:

• на промежутке (-∞, 0)
  f′(x) = -4x³. Возьмем, например, x = -1:
  f′(-1) = -4·(-1)³ = 4 > 0
  ⇒ f(x) возрастает

• на промежутке (0, +∞)
  f′(x) = -4x³. Возьмем x = 1:
  f′(1) = -4·1³ = -4 < 0
  ⇒ f(x) убывает

Шаг 4: Записываем результат

• Функция возрастает на промежутке (-∞, 0)

• Функция убывает на промежутке (0, +∞)

Таким образом, максимум достигается в точке x = 0, где производная меняет знак с положительного на отрицательный.