Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 2:3:7. Найдите радиус окружности, если меньшая сторона равна 16.

Пусть у нас есть треугольник, вписанный в окружность. Согласно условию задачи, длины дуг, на которые вершины треугольника делят окружность, относятся как 2:3:7. Эти отношения также могут быть связаны с углами треугольника, поскольку длина дуги окружности пропорциональна центральному углу, который ей соответствует. Таким образом, углы треугольника также будут относиться как 2:3:7.

Шаг 1: Обозначим стороны треугольника

Пусть стороны треугольника обозначены как $a$, $b$ и $c$, где $a \leq b \leq c$, а также $a = 16$ — это сторона, длина которой нам дана.

Шаг 2: Связь углов и дуг

Из соотношения длин дуг (2:3:7) мы понимаем, что углы, противолежащие этим сторонам, тоже будут относиться как 2:3:7. Обозначим углы как $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, где:

• угол $\alpha$ противолежит стороне $a$,

• угол $\beta$ противолежит стороне $b$,

• угол $\gamma$ противолежит стороне $c$.

Значит, углы треугольника относятся как 2:3:7, и сумма углов треугольника должна быть равна $180^\circ$. То есть, можно записать:

Если углы относятся как 2:3:7, то можно выразить углы через общий множитель $k$:

Подставив в уравнение суммы углов, получаем:

что даёт:

откуда $k = 15^\circ$.

Таким образом, углы треугольника составляют:

• $\alpha = 2 \times 15^\circ = 30^\circ$,

• $\beta = 3 \times 15^\circ = 45^\circ$,

• $\gamma = 7 \times 15^\circ = 105^\circ$.

Шаг 3: Используем формулу для радиуса окружности

Теперь, когда мы знаем углы треугольника, можем применить формулу для радиуса окружности, описанной около треугольника. Для треугольника, вписанного в окружность, существует формула для радиуса $R$:

где $a$ — это сторона треугольника, против которой расположен угол $\alpha$. Так как меньшая сторона равна 16, и угол против неё равен $\alpha = 30^\circ$, подставляем в формулу:

Зная, что $\sin(30^\circ) = 0.5$, получаем:

Ответ: Радиус окружности равен 16.