Касательные в точках A и B к окружности с центром O под углом 72° пересекаются. Найдите угол ABO.

Чтобы найти угол ABO, необходимо рассмотреть геометрическое расположение касательных и использовать свойства касательных к окружности.

1. Обозначим центр окружности как O, точки касания с окружностью — как A и B. Касательные линии из точек A и B пересекаются в некоторой точке, назовем её точкой пересечения P.

2. Угол между касательными в точке пересечения P равен 72°.

3. Важное свойство: угол между двумя касательными к окружности из одной внешней точки всегда равен удвоенному углу, который они образуют с радиусами, проведёнными в точки касания.

4. То есть угол между касательными в точке P равен углу между радиусами OA и OB, умноженному на 2. Таким образом, угол между радиусами OA и OB (обозначим его как ∠AOB) будет равен:

   $$\angle AOB = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ.$$

5. Теперь рассмотрим треугольник OAB. Это равнобедренный треугольник, поскольку OA и OB — радиусы окружности, и они равны между собой.

6. Угол ∠AOB равен 36°, и так как треугольник OAB равнобедренный, углы ∠OAB и ∠OBA будут равны. Обозначим их как ∠OAB = ∠OBA = x.

7. В треугольнике OAB сумма углов должна быть 180°. Таким образом, можно записать уравнение:

   $$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ.$$

   Подставляем известные значения:

   $$x + x + 36^\circ = 180^\circ,$$ $$2x = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ,$$ $$x = \frac{144^\circ}{2} = 72^\circ.$$

8. Таким образом, угол ∠OAB (или ∠OBA) равен 72°. Это и есть угол ABO, который мы искали.

Ответ: угол ABO равен 72°.