Показательные уравнения 5^(2x)-2*5^x-15=0

Для решения показательного уравнения $5^{2x} - 2 \cdot 5^x - 15 = 0$, можно воспользоваться заменой переменной, чтобы упростить уравнение.

1. Заменим переменную: Пусть $y = 5^x$. Тогда $5^{2x} = (5^x)^2 = y^2$. Это преобразует уравнение в квадратное относительно $y$.

   Получаем:

   $$y^2 - 2y - 15 = 0$$

2. Решим квадратное уравнение: Мы можем решить его с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Где $a = 1$, $b = -2$, $c = -15$. Подставим эти значения в формулу:

   $$y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-15)}}{2(1)}$$ $$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$$ $$y = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2}$$ $$y = \frac{2 \pm 8}{2}$$

   Таким образом, два возможных значения для $y$:

   $$y = \frac{2 + 8}{2} = 5 \quad \text{или} \quad y = \frac{2 - 8}{2} = -3$$

3. Возврат к $x$: Мы знаем, что $y = 5^x$, поэтому:

   • Если $y = 5$, то $5^x = 5$, отсюда $x = 1$.

   • Если $y = -3$, то $5^x = -3$. Однако для любой $x$, $5^x$ всегда положительно, следовательно, $y = -3$ не имеет решений в области действительных чисел.

4. Ответ: Единственное решение уравнения — это $x = 1$.