Решите уравнения 2*2^(2x)-17*2^x+8=0; 5*2^(2x)-7*10^x+2*5^(2x)=0 Тема показательные уравнения

Уравнение 1: $2 \cdot 2^{2x} - 17 \cdot 2^x + 8 = 0$

1. Приводим к удобному виду.
   Используем подстановку: пусть $y = 2^x$. Тогда $2^{2x} = (2^x)^2 = y^2$.

   Уравнение примет вид:

   $$2y^2 - 17y + 8 = 0$$

2. Решаем квадратное уравнение.
   Это обычное квадратное уравнение относительно $y$, решим его с помощью дискриминанта:

   $$D = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 289 - 64 = 225$$

   Корни уравнения:

   $$y = \frac{-(-17) \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{17 \pm 15}{4}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$y_1 = \frac{17 + 15}{4} = \frac{32}{4} = 8, \quad y_2 = \frac{17 - 15}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

3. Возвращаемся к переменной $x$.
   Напоминаем, что $y = 2^x$. Подставляем найденные значения $y$:

   • $2^x = 8$, что даёт $x = 3$,

   • $2^x = \frac{1}{2}$, что даёт $x = -1$.

   Ответ: $x = 3$ и $x = -1$.

Уравнение 2: $5 \cdot 2^{2x} - 7 \cdot 10^x + 2 \cdot 5^{2x} = 0$

1. Приводим к удобному виду.
   Разделим каждое слагаемое:

   $$5 \cdot 2^{2x} = 5 \cdot (2^x)^2, \quad 7 \cdot 10^x = 7 \cdot (2^x \cdot 5^x), \quad 2 \cdot 5^{2x} = 2 \cdot (5^x)^2$$

   Попробуем сделать подстановки: пусть $a = 2^x$ и $b = 5^x$. Тогда уравнение примет вид:

   $$5a^2 - 7ab + 2b^2 = 0$$

2. Решаем как квадратное уравнение относительно $a$.
   Перепишем уравнение:

   $$5a^2 - 7ab + 2b^2 = 0$$

   Это уравнение можно решить через выделение общего множителя:

   $$a(5a - 7b) + 2b^2 = 0$$

   Решая, получаем два возможных случая:

   1. $a = 0$, что означает $2^x = 0$, что невозможно, так как $2^x$ всегда положительно.

   2. $5a - 7b = 0$, что даёт $5 \cdot 2^x = 7 \cdot 5^x$, или $\left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{7}{5}$