Докажите или опровергните следующие высказывания: А)Существуют уравнения множество решений которых пусто;

Б) Всякое целое число является натуральным;

В) Сумма любых двух чётных чисел есть число чётное;

Г) Хотя бы одно натуральное число является решением уравнения: 7:x=2.

Давайте рассмотрим каждое из предложенных утверждений отдельно и разберем, являются ли они истинными или ложными.

А) Существуют уравнения, множество решений которых пусто.

Это утверждение верно. Действительно, существуют уравнения, которые не имеют решений, то есть их множество решений пусто. Например, возьмем уравнение $x^2 + 1 = 0$ в множестве действительных чисел. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, а добавление единицы делает левую часть положительной. Следовательно, $x^2 + 1 = 0$ не имеет решений в действительных числах, так как нет такого числа $x$, которое при возведении в квадрат и добавлении единицы даст ноль. Таким образом, множество решений этого уравнения пусто.

Б) Всякое целое число является натуральным.

Это утверждение ложно. Натуральные числа обычно определяются как множество положительных целых чисел (1, 2, 3, и так далее), и иногда — с включением нуля, но никогда не включают отрицательные числа. Однако целые числа включают в себя как положительные, так и отрицательные числа, а также ноль. Поскольку отрицательные числа (например, -1, -2, -3) и в некоторых трактовках — ноль не считаются натуральными, то не всякое целое число является натуральным. Соответственно, данное утверждение неверно.

В) Сумма любых двух четных чисел есть число четное.

Это утверждение верно. По определению, четное число можно записать в виде $2n$, где $n$ — целое число. Пусть $a = 2m$ и $b = 2k$, где $m$ и $k$ — целые числа. Тогда сумма $a + b = 2m + 2k = 2(m + k)$, что также является четным числом, так как результат можно представить в виде $2 \times \text{целое число}$. Таким образом, сумма любых двух четных чисел всегда будет четной, и утверждение является истинным.

Г) Хотя бы одно натуральное число является решением уравнения $\frac{7}{x} = 2$.

Это утверждение ложно. Попробуем найти натуральное число, которое является решением уравнения. Уравнение можно переписать как $7 = 2x$, откуда $x = \frac{7}{2} = 3.5$. Однако $3.5$ не является натуральным числом, так как натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, …). Таким образом, у данного уравнения нет решений среди натуральных чисел. Поэтому утверждение неверно.

Итог:

• Утверждение А — верно.
• Утверждение Б — неверно.
• Утверждение В — верно.
• Утверждение Г — неверно.