Решить уравнение x^8+1=0

Чтобы решить уравнение $x^8 + 1 = 0$, начнем с его преобразования:

1. Переносим 1 на другую сторону:

   $$x^8 = -1$$

2. Запишем $-1$ в комплексной форме:

   $$-1 = e^{i\pi}$$

   Это связано с тем, что комплексное число $-1$ можно выразить как $e^{i\pi}$, где $i$ — мнимая единица.

3. Теперь получаем следующее уравнение:

   $$x^8 = e^{i\pi}$$

4. Чтобы найти все корни этого уравнения, будем использовать комплексные корни. Корни из $e^{i\pi}$ можно записать как:

   $$x = e^{\frac{i(\pi + 2k\pi)}{8}}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, 7$$

   Здесь $k$ — это целое число, которое отвечает за различные циклические сдвиги углов в комплексной плоскости.

5. Таким образом, корни уравнения будут:

   $$x = e^{\frac{i\pi}{8}}, e^{\frac{3i\pi}{8}}, e^{\frac{5i\pi}{8}}, e^{\frac{7i\pi}{8}}, e^{\frac{9i\pi}{8}}, e^{\frac{11i\pi}{8}}, e^{\frac{13i\pi}{8}}, e^{\frac{15i\pi}{8}}$$

Эти корни являются восьмью различными комплексными числами, которые можно записать в виде:

Итак, решение уравнения $x^8 + 1 = 0$ состоит из восьми комплексных корней, равных этим значениям.