Решите систему ур-ний{x²+y²=5..xy=2

Давайте решим систему уравнений:

1. $x^2 + y^2 = 5$

2. $xy = 2$

Шаг 1: Используем метод замены

Попробуем выразить одно из уравнений через одно из переменных. Из второго уравнения $xy = 2$ можем выразить $y$ через $x$:

Шаг 2: Подставим в первое уравнение

Теперь подставим выражение для $y$ в первое уравнение:

Преобразуем это уравнение:

Шаг 3: Умножим на $x^2$

Чтобы избавиться от дроби, умножим оба члена уравнения на $x^2$:

Шаг 4: Переносим все в одну сторону

Переносим все члены в одну сторону:

Шаг 5: Вводим новую переменную

Пусть $z = x^2$. Тогда уравнение примет вид:

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Получаем два корня:

Шаг 7: Находим $x$

Теперь возвращаемся к переменной $x$. Напоминаем, что $z = x^2$, значит:

• Для $z = 4$ получаем $x^2 = 4$, то есть $x = 2$ или $x = -2$.

• Для $z = 1$ получаем $x^2 = 1$, то есть $x = 1$ или $x = -1$.

Шаг 8: Находим $y$

Теперь подставим найденные значения $x$ в уравнение $xy = 2$:

• Если $x = 2$, то $y = \frac{2}{2} = 1$.

• Если $x = -2$, то $y = \frac{2}{-2} = -1$.

• Если $x = 1$, то $y = \frac{2}{1} = 2$.

• Если $x = -1$, то $y = \frac{2}{-1} = -2$.

Шаг 9: Проверка

Теперь проверим, что найденные пары $(x, y)$ удовлетворяют первому уравнению $x^2 + y^2 = 5$.

• Для $x = 2$ и $y = 1$ проверяем: $2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$, уравнение выполняется.

• Для $x = -2$ и $y = -1$ проверяем: $(-2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$