3х + 6х² > 0 решить неравенство

Для решения неравенства $3x + 6x^2 > 0$, давайте начнем с приведения его к более удобному виду.

1. Выносим общий множитель: из обеих частей неравенства можно вынести общий множитель 3:

   $$3(x + 2x^2) > 0$$

   Теперь неравенство выглядит так:

   $$3x(1 + 2x) > 0$$

   Поскольку множитель 3 положительный, его можно не учитывать в анализе знаков, оставив неравенство:

   $$x(1 + 2x) > 0$$

2. Нахождение нулей: для того чтобы решить это неравенство, нужно найти точки, в которых произведение $x(1 + 2x) = 0$. Это произойдёт, когда:

   $$x = 0 \quad \text{или} \quad 1 + 2x = 0$$

   Решим $1 + 2x = 0$:

   $$2x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{2}$$

   Таким образом, точки, в которых выражение равно нулю, это $x = 0$ и $x = -\frac{1}{2}$.

3. Анализ знаков: теперь определим, на каких промежутках выражение $x(1 + 2x)$ положительно. Для этого рассмотрим знак выражения на трех промежутках, определенных найденными нулями:

   • Для $x < -\frac{1}{2}$ (например, при $x = -1$):

     $$(-1)(1 + 2(-1)) = (-1)(-1) = 1 \quad (\text{положительно})$$

   • Для $-\frac{1}{2} < x < 0$ (например, при $x = -\frac{1}{4}$):

     $$\left(-\frac{1}{4}\right)\left(1 + 2\left(-\frac{1}{4}\right)\right) = \left(-\frac{1}{4}\right)\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8} \quad (\text{отрицательно})$$

   • Для $x > 0$ (например, при $x = 1$):

     $$(1)(1 + 2(1)) = (1)(3) = 3 \quad (\text{положительно})$$

4. Ответ: неравенство выполняется на промежутках, где выражение $x(1 + 2x) > 0$. Это происходит при $x < -\frac{1}{2}$ и при $x > 0$.

   Таким образом, решение неравенства:

   $$x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (0, \infty)$$