6 cos2x + cosx - 1 = 0

У нас есть уравнение:
$6 \cos(2x) + \cos(x) - 1 = 0$

Шаг 1. Используем формулу для удвоенного угла

Мы знаем, что $\cos(2x)$ можно выразить через $\cos(x)$ с помощью формулы:

Подставим это в исходное уравнение:

Шаг 2. Упростим уравнение

Теперь раскроем скобки:

Упростим:

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение

Получилось квадратное уравнение относительно $\cos(x)$:

Решаем его с помощью дискриминанта. Для уравнения вида $a\cos^2(x) + b\cos(x) + c = 0$, где $a = 12$, $b = 1$, и $c = -7$, дискриминант вычисляется по формуле:

Подставим значения:

Теперь находим корни уравнения:

Таким образом, получаем два значения для $\cos(x)$:

Шаг 4. Рассмотрим возможные значения

Теперь проверим, какие из этих значений лежат в пределах допустимого диапазона для $\cos(x)$, который варьируется от -1 до 1.

1. Для первого корня $\cos(x) = \frac{-1 + \sqrt{337}}{24} \approx 0.887$. Это значение лежит в допустимом диапазоне $[-1, 1]$, поэтому оно имеет решение.

2. Для второго корня $\cos(x) = \frac{-1 - \sqrt{337}}{24} \approx -1.387$. Это значение выходит за пределы диапазона от -1 до 1, поэтому не имеет решений.

Шаг 5. Находим значения $x$

Теперь, зная, что $\cos(x) = 0.887$, находим значения $x$, при которых это выполняется.

Решение уравнения:

Так как косинус — это периодическая функция с периодом $2\pi$, общее решение уравнения будет: