cos2x = cosx решите уравнение

Чтобы решить уравнение $\cos(2x) = \cos(x)$, нужно применить тригонометрические тождества и методы решения тригонометрических уравнений.

1. Используем формулу для $\cos(2x)$:

   Из тригонометрического тождества известно, что:

   $$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$$

   Таким образом, уравнение $\cos(2x) = \cos(x)$ можно переписать как:

   $$2\cos^2(x) - 1 = \cos(x)$$

2. Преобразуем уравнение в квадратное:

   Переносим все члены на одну сторону:

   $$2\cos^2(x) - \cos(x) - 1 = 0$$

   Это квадратное уравнение относительно $\cos(x)$. Обозначим $y = \cos(x)$, тогда уравнение примет вид:

   $$2y^2 - y - 1 = 0$$

3. Решаем квадратное уравнение:

   Используем формулу для решения квадратных уравнений:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Для уравнения $2y^2 - y - 1 = 0$ коэффициенты:

   • $a = 2$

   • $b = -1$

   • $c = -1$

   Подставляем их в формулу:

   $$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)}$$ $$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$$ $$y = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}$$ $$y = \frac{1 \pm 3}{4}$$

   Получаем два значения для $y$:

   $$y_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$$

4. Возвращаемся к $\cos(x)$:

   Мы нашли, что $\cos(x) = 1$ или $\cos(x) = -\frac{1}{2}$.

   • Для $\cos(x) = 1$ решение: $x = 2k\pi$, где $k$ — целое число.

   • Для $\cos(x) = -\frac{1}{2}$ решение: $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ или $x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

5. Ответ:

   Общее решение уравнения $\cos(2x) = \cos(x)$ будет:

   $$x = 2k\pi, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$$

   где $k$ — целое число.