Решите неравенство 3x² - 6x + 32 > 0

Рассмотрим неравенство:

Для того чтобы решить это неравенство, начнём с анализа квадратичного выражения $3x^2 - 6x + 32$.

1. Дискриминант

Для того чтобы понять, какие значения $x$ могут удовлетворять данному неравенству, сначала найдём дискриминант данного квадратного уравнения $3x^2 - 6x + 32 = 0$. Он вычисляется по формуле:

где $a = 3$, $b = -6$, и $c = 32$. Подставляем значения:

Дискриминант отрицателен, что означает, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, а значит, парабола не пересекает ось $x$.

2. Описание параболы

Так как коэффициент при $x^2$ (то есть $a = 3$) положительный, это значит, что парабола открывается вверх. Следовательно, выражение $3x^2 - 6x + 32$ всегда положительно для всех значений $x$.

3. Вывод

Поскольку выражение $3x^2 - 6x + 32$ всегда больше нуля для всех $x$, то неравенство $3x^2 - 6x + 32 > 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: решение неравенства — все действительные числа $x$.