Решите уравнение: |3x²-3x+5|=|2x²+6x-3|

Для того чтобы решить уравнение с модулями: $|3x^2 - 3x + 5| = |2x^2 + 6x - 3|$, нужно рассмотреть несколько случаев в зависимости от того, что находится внутри модулей.

1. Раскроем модуль:

Модуль выражения $|A|$ равен:

• $A$, если $A \geq 0$,

• $-A$, если $A < 0$.

Это означает, что нам нужно рассмотреть все возможные комбинации знаков выражений внутри модулей.

2. Сначала рассмотрим четыре возможных случая:

1. $3x^2 - 3x + 5 \geq 0$ и $2x^2 + 6x - 3 \geq 0$

2. $3x^2 - 3x + 5 \geq 0$ и $2x^2 + 6x - 3 < 0$

3. $3x^2 - 3x + 5 < 0$ и $2x^2 + 6x - 3 \geq 0$

4. $3x^2 - 3x + 5 < 0$ и $2x^2 + 6x - 3 < 0$

Теперь разберем эти случаи поочередно.

3. Анализ выражений:

$3x^2 - 3x + 5$

Это квадратное выражение. Чтобы понять, когда оно может быть отрицательным, можно вычислить его дискриминант:

Поскольку дискриминант отрицателен, это выражение не имеет действительных корней и всегда положительно. То есть, $3x^2 - 3x + 5 \geq 0$ для всех $x$.

$2x^2 + 6x - 3$

Теперь рассмотрим второе выражение. Найдем его дискриминант:

Так как дискриминант положительный, это выражение может менять знак. Решим неравенство $2x^2 + 6x - 3 = 0$:

Корни будут:

Чтобы найти значения, где $2x^2 + 6x - 3 = 0$, можно использовать приближенные значения этих корней. После нахождения корней, можно разделить область на три интервала и анализировать знак выражения в каждом из них.

4. Перейдем к случаям:

Случай 1: $3x^2 - 3x + 5 \geq 0$ и $2x^2 + 6x - 3 \geq 0$

Так как $3x^2 - 3x + 5 \geq 0$ всегда, у нас остается только неравенство:

Решим его. Мы уже нашли корни этого выражения. Распишем его знаки на интервалах: