В равнобедренной трапеции с основаниями, равными 13 и 31, известен периметр: P = 74. Найди площадь этой трапеции.

Для того чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, нам нужно использовать формулу площади трапеции и определенные параметры. Давайте решим задачу пошагово.

Итак, нам известны следующие данные:

• Длина верхнего основания трапеции $a = 13$

• Длина нижнего основания трапеции $b = 31$

• Периметр трапеции $P = 74$

1. Определим длину боковых сторон трапеции.

Периметр трапеции можно выразить как сумму длин всех её сторон:

где $l$ — длина боковой стороны. Подставим известные значения:

Таким образом, длина боковой стороны $l = 15$.

2. Найдем высоту трапеции.

Теперь, зная длину боковой стороны, мы можем найти высоту трапеции. Для этого вспомним, что трапеция является симметричной, и если опустить перпендикуляры с концов верхнего основания на нижнее, то получится два прямоугольных треугольника с гипотенузами, равными боковым сторонам $l$, и катетами, равными половинам разности длин оснований.

Разность оснований:

Половина этой разности:

Теперь, применяя теорему Пифагора в одном из этих треугольников, где гипотенуза $l = 15$, а один катет равен 9, найдем высоту $h$:

Таким образом, высота трапеции $h = 12$.

3. Найдем площадь трапеции.

Теперь, зная высоту, можем найти площадь трапеции по формуле:

Подставим известные значения:

Ответ: площадь трапеции равна 264 квадратных единицы.