У Пети есть четыре карточки с цифрами 1, 2, 3, 4. Каждая цифра встречается ровно один раз. Сколько натуральных чисел, меньших 3422, может составить из этих карточек Петя?

Для решения этой задачи нужно учесть, что Петя может составить натуральные числа из цифр 1, 2, 3 и 4, каждая из которых встречается ровно один раз. Натуральные числа, которые он составляет, должны быть меньше 3422.

1. Определим разрядность чисел

Числа, которые Петя может составить из этих цифр, могут быть одно-, двух-, трех- или четырехзначными. Однако для ограничения "меньше 3422" особое внимание следует уделить только четырехзначным числам, так как все трехзначные и меньшие числа автоматически подходят под это ограничение.

2. Определим количество четырехзначных чисел

Для составления четырехзначного числа из цифр 1, 2, 3 и 4 каждую цифру можно использовать только один раз. Поэтому нас интересуют перестановки цифр 1, 2, 3 и 4. Общее количество таких перестановок равно $4!$ (4 факториал):

Это означает, что всего можно составить 24 различных четырехзначных числа из цифр 1, 2, 3 и 4.

3. Отберем числа, меньшие 3422

Теперь нам нужно отобрать только те четырехзначные числа, которые меньше 3422. Для этого рассмотрим числа, которые начинаются с цифры 1, 2 и 3, поскольку числа, начинающиеся с цифры 4, точно будут больше 3422.

Четырехзначные числа, начинающиеся с 1

Если первая цифра — 1, остальные цифры могут быть 2, 3 и 4 в любом порядке. То есть, перестановки цифр 2, 3 и 4 дают:

Таким образом, существует 6 четырехзначных чисел, начинающихся с 1.

Четырехзначные числа, начинающиеся с 2

Если первая цифра — 2, оставшиеся цифры могут быть 1, 3 и 4 в любом порядке:

Таким образом, существует еще 6 четырехзначных чисел, начинающихся с 2.

Четырехзначные числа, начинающиеся с 3

Если первая цифра — 3, остальные цифры могут быть 1, 2 и 4 в любом порядке. Но здесь нужно учитывать ограничение, что число должно быть меньше 3422.

Проверим перестановки:

• 3124 < 3422 — подходит.
• 3142 < 3422 — подходит.
• 3214 < 3422 — подходит.
• 3241 < 3422 — подходит.
• 3412 < 3422 — подходит.
• 3421 < 3422 — подходит.

Таким образом, все 6 чисел, начинающихся с 3, подходят под условие.

4. Подсчитаем общее количество подходящих чисел

Суммируем количество подходящих чисел:

5. Итоговый ответ

Петя может составить 18 различных натуральных чисел из своих карточек с цифрами 1, 2, 3 и 4, которые меньше 3422.